LE MYSTERE DES NOMBRES PREMIERS
Le mystère des nombres premiers, est un documentaire (1h14) qui retrace l'histoire depuis plus de 2.000 ans de cette énigme mathématique qui reste encore un problème d'une telle difficulté à résoudre, que certains scientifiques ont même abandonné par désespoir.
Dans ce documentaire, Marcus du Sautoy, chercheur à Oxford, étudie l'histoire fascinante de grands mathématiciens, comme Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann et Alan Turing, qui ont tous abordé le problème des nombres premiers. Marcus du Sautoy est un spécialiste du domaine. Dans son ouvrage "La musique des premiers", il fait vivre avec un enthousiasme communicatif la passion dévorante des mathématiciens qui, d' Euclide à Alain Connes, entre-autres, se sont attaqués à ce problème gigantesque. C'est l'univers exalté des mathématiciens fondamentalistes, un monde où rationalité et folie se côtoient et souvent s'interpénètrent.
"Il faudra encore attendre au moins un million d'années avant que nous comprenions les nombres premiers", soupirait le mathématicien Paul Erdös peu avant de rendre l'âme. Le mathématicien anglais, Godfrey H. Hardy, voyait dans la théorie des nombres, celle des premiers en particulier, "la plus difficile de toutes les branches des mathématiques".
Briques élémentaires des mathématiques, les nombres premiers, divisibles seulement par eux-mêmes et par 1, restent des objets incroyablement mystérieux. Ainsi, tout nombre pair semble pouvoir être écrit comme la somme de deux nombres premiers, mais ce n'est pas démontré. Dans la série des premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13... jusqu'à l'infini, beaucoup apparaissent en couple, séparé par un seul nombre, comme 1 000 037 et 1 000 039. On ne comprends pas pourquoi ni s'il existe une infinité de ces premiers jumeaux.
Certains mathématiciens pensent que leur suite est le produit du hasard, mais on n'en est pas sûr car peut-être qu'il existe une règle cachée. C'est le problème central des nombres premiers, celui qui a généré la célèbre hypothèse de Riemann, sur laquelle les mathématiciens se torturent l'esprit depuis cent cinquante ans. S'ils sont le produit du hasard, ou "d'un Dieu jouant aux dés", comment l'expliquer et comment expliquer qu'ils soient en même temps le socle dur sur lequel sont bâtis tous les nombres, et la physique ?
Pourtant, des propriétés énoncées au XIXe siècle montrent un comportement non anarchique. Le théorème de raréfaction des nombres premiers de Jacques Hadamard et Jean de la Vallée Poussin, nous enseigne par exemple que le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est approximativement n/ln n, où ln n désigne le logarithme népérien de n. C'est là une indication que les nombres premiers n'arrivent pas dans un chaos absolu mais au contraire, avec une certaine régularité.
On ne sait pas déterminer si un nombre quelconque est premier ou non, ni trouver les premiers dont le produit compose un nombre quelconque, ce qui assure, provisoirement, la sécurité des transactions sur Internet.
Les nombres premiers suivent des lois que les mathématiciens essaient d'identifier. La preuve que de telles lois existent est qu'on peut mettre les nombres premiers en formules. Bien sûr, aucune formule très simple ne convient et on montre par exemple qu'aucune fonction polynôme ne donne que des nombres premiers, sauf dans le cas trivial où la formule est constante.
En 1947, W. Mills étonne la communauté mathématique en établissant l'existence d'une constante A qui, insérée dans une formule, donne un nombre premier pour tout n supérieur ou égal à 1. L'utilité de cette formule est cependant illusoire, car on ne peut calculer la constante A qu'à la condition de connaître déjà les nombres premiers. Une autre formule éclaire ce phénomène qui donne le énième nombre premier pour tout n supérieur ou égal à 1. La recherche de formules donnant les nombres premiers doit donc se limiter à celles qui ne font pas intervenir de constantes réelles.
De nombreux progrès ont été réalisés ces dernières années dans la manipulation et la connaissance des nombres premiers. Les algorithmes probabilistes de test de la primalité identifient des nombres premiers de 100 000 chiffres en quelques fractions de seconde. Les algorithmes de factorisation deviennent chaque année de plus en plus puissants. Toutefois, on ne connaît encore aucune méthode permettant d'engendrer rapidement un nombre premier de longueur n. On le voit, les travaux sur les nombres premiers et leurs relations avec l'informatique sont nombreux et loin d'avoir été tous explorés.
Il reste beaucoup de questions à résoudre. La recherche fondamentale rejoint les applications pour construire une science des réseaux informatiques et des communications de demain, dont la sécurité est dès aujourd'hui intimement liée aux nombres premiers, comme avec la cryptographie, les codes correcteurs d'erreurs, l'algorithmique distribuée, etc.
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